Question

已知直線y=3x上一點P的橫坐標為a，有兩定點A（-1，1）、B（3，3），那么使向量

PA

與

PB

夾角為鈍角的a的取值范圍為

(0，

3

5

)∪(

3

5

，

7

5

)

．

Answer 1

分析：由已知中直線y=3x上一點P的橫坐標為a，有兩定點A（-1，1）、B（3，3），我們分別求出向量

PA

與

PB

的坐標，然后根據向量

PA

與

PB

夾角為鈍角，其數量積小于0，可以構造關于a的不等式，排除掉使向量

PA

與

PB

反向的a值地，即可得到使向量

PA

與

PB

夾角為鈍角的a的取值范圍．

解答：解：∵直線y=3x上一點P的橫坐標為a，
∴P點的坐標為（a，3a）
又∵點A（-1，1）、B（3，3），
∴向量

PA

=（-1-a，1-3a），

PB

=（3-a，3-3a），
若向量

PA

與

PB

夾角為鈍角
則

PA

•

PB

=（-1-a）（3-a）+（1-3a）（3-3a）＜0
解得0＜a＜

7

5

又∵當a=

3

5

，向量

PA

與

PB

反向
故使向量

PA

與

PB

夾角為鈍角的a的取值范圍為(0，

3

5

)∪(

3

5

，

7

5

)
故答案為：(0，

3

5

)∪(

3

5

，

7

5

)

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，其中根據向量

PA

與

PB

夾角為鈍角，其數量積小于0，構造關于a的不等式，是解答本題的關鍵，但解答過程中易忽略a=

3

5

，向量

PA

與

PB

反向，而錯解為(0，

7

5

)