Question

（2012•浦東新區一模）如圖所示，在平面直角坐標系xOy上放置一個邊長為1的正方形PABC，此正方形PABC沿x軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時，點P位于原點處，設頂點P（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數關系是y=f（x），x∈R，該函數相鄰兩個零點之間的距離為m．
（1）寫出m的值并求出當0≤x≤m時，點P運動路徑的長度l；
（2）寫出函數f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表達式；研究該函數的性質并填寫下面表格：

函數性質	結  論
奇偶性	偶函數
單調性	遞增區間	[4k，4k+2]，k∈z
	遞減區間	[4k-2，4k]，k∈z
零點	x=4k，k∈z

（3）試討論方程f（x）=a|x|在區間[-8，8]上根的個數及相應實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m即正方形的周長，l由3段

1

4

圓弧構成，其中2段弧所在圓的半徑等于1，1段弧所在圓的半徑等于

2

，從而
求得l的值．
（2）用分段函數表示函數f（x）的解析式，由此求出遞增區間和遞減區間，及函數的零點．
（3）易知直線y=ax恒過原點，函數y=f（x），x∈[-8，8]的圖象關于y軸對稱，分類討論直線y=ax在每一段上
與y=f（x）的交點的個數，綜合可得結論．

解答：解：（1）m即正方形的周長，∴m=4，…（2分）
l由3段

1

4

圓弧構成，其中2段弧所在圓的半徑等于1，1段弧所在圓的半徑等于

2

，
故l=2[

1

4

×2π×1]+

1

4

×2π×

2

=（1+

2

2

）π．…（4分）
（2）函數f（x）=

2-(x-4k+2)2  ， 4k-2≤x≤4k-1 1-(x-4k+1)2 ， 4k-1≤x≤4k 1-(x-4k-1)2 ， 4k≤x≤4k+1 2-(x-4k-2)2 ， 4k+1≤x≤4k+2

，k∈z．…（7分）

函數性質	結   論
奇偶性	偶函數
單調性	遞增區間	[4k，4k+2]，k∈z
	遞減區間	[4k-2，4k]，k∈z
零點	x=4k，k∈z

…（10分）
（3）f（x）=a|x|在區間[-8，8]刪的根的個數即為函數f（x）的圖象和直線y=a|x|的交點個數，
（i）易知直線y=ax恒過原點；
當直線y=ax過點（1，1）時，a=1，此時點（2，0）到直線y=x的距離為

2

，
直線y=x與曲線 y=

2-(x-2)2

，x∈[1，3]相切．
當x≥3時，y=x恒在曲線y=f（x）之上．
（ii）當直線y=ax與曲線 y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相切時，由點（6，0）到直線y=ax
的距離為

2

，a=

1

17

，此時點（5，0）到直線 y=

1

17

x的距離為

5

18

，
直線y=

1

17

x與曲線y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相離．
（iii）當直線y=ax與曲線 y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相切時，由點（5，0）到直線 y=ax
的距離為1，a=

1

24

=

6

12

，此時點（6，0）到直線y=

1

24

x的距離為

6

25

＜

2

，
直線y=

1

24

x與曲線 y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相交于兩個點．
（ⅳ）當直線y=ax過點（5，1）時，a=

1

5

，此時點（5，0）到直線y=

1

5

x的距離為

5

26

＜1，直線y=

1

5

x與曲線 y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相交于兩個點．
點（6，0）到直線y=

1

5

x的距離為

6

26

＜

2

，直線y=

1

5

x與曲線y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相交于兩個點．
（ⅴ）當a=0時，直線y=0與曲線y=f（x），x∈[-8，8]有且只有5個交點；
（ⅵ）當a＜0時，直線y=ax與曲線y=f（x），x∈[-8，8]有且只有1個交點；
因為函數y=f（x），x∈[-8，8]的圖象關于y軸對稱，…（14分）
故綜上可知：（1）當a＜0時，方程 f（x）=a|x|只有1實數根；
（2）當a＞

17

17

時，方程f（x）=a|x|有3個實數根；
（3）當a=

17

17

，或a=0時，方程f（x）=a|x|有5個實數根；
（4）當 0＜a＜

1

5

或

6

12

＜a＜

17

17

時，方程f（x）=a|x|有7個實數根；
（5）當a=

6

12

時，方程f（x）=a|x|有9個實數根；
（6）當a=

1

5

，方程f（x）=a|x|有2個實數根；
（7）當

1

5

＜a＜

6

12

時，方程f（x）=a|x|有11個實數根．…（18分）

點評：本題主要考查分段函數的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．