Question

已知過點P（1，2）的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A，B兩點．求：
（1）y軸上的截距是x軸上的截距的兩倍時直線的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值時直線的方程．

Answer 1

分析：（1）設所求直線的方程為

x a + y 2a =1

，代入點P的坐標可解得a的值，可得方程；（2）設所求直線的方程為y-2=k（x-1），由題意知k＜0，分別令x=0，y=0可得A、B的坐標，進而可得|PA|²•|PB|²的表達式，由基本不等式可得．

解答：解：（1）設所求直線的方程為

x a + y 2a =1

，
即2x+y-2a=0，
∵直線過點P（1，2），
∴2×1+2-2a=0，
解得a=2，
∴所求直線的方程為2x+y-4=0
（2）設所求直線的方程為y-2=k（x-1），由題意知k＜0，
令x=0可得y=2-k，令y=0可得x=1-

2

k

，
即A（1-

2

k

，0），B（0，2-k）
∴|PA|²•|PB|²=[(-

2

k

)2+4][1+（-k）²]
=8+4k2+

4

k2

≥8+2

4k2• 4 k2

=16
當且僅當4k2=

4

k2

，即k=-1時取等號，
∴|PA|•|PB|取最小值4時，直線的方程為x+y-3=0

點評：本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式的應用．