Question

【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,為的中點(diǎn).

（1）求證平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）直線與平面相交.證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理,在面內(nèi)找一條直線平行于即可．所以連接交與點(diǎn)，再連接，由中位線定理可得，即可得證；

（2）取的中點(diǎn)，連接．分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)二面角的向量方法即可求出；

（3）根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系，即可判斷直線與平面的位置關(guān)系．

（1）由題意，三棱柱為正三棱柱．

連接． 設(shè)，則是的中點(diǎn)．連接， 由，分別為和的中點(diǎn)，得．又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（2）取的中點(diǎn)，連接．

因?yàn)?/span>為正三角形，且為中點(diǎn)，所以．

由，分別為和的中點(diǎn)，得，

又因?yàn)?/span>平面， 所以平面，即有，．

分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，，，

設(shè)平面的法向量，

由，，得

令，得．

設(shè)平面的法向量，

由，，得

令，得．

設(shè)二面角的平面角為，則 ．

由圖可得二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．

（3）結(jié)論：直線與平面相交．

證明：因?yàn)?/span>，，且，

所以．

又因?yàn)槠矫?/span>的法向量，且，

所以與不垂直，

因?yàn)?/span>平面，且與平面不平行，

故直線與平面相交．