Question

已知冪函數y=xm2-2m-3(m∈N+)的圖象與x軸，y軸無交點且關于原點對稱，又有函數f（x）=x²-alnx+m-2在（1，2]上是增函數，g（x）=x-a

x

在（0，1）上為減函數．
①求a的值；
②若

1

p(x)

=2f′(x)-2x+

5

x

+1，數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=p（a_n），（n∈N₊），數列{b_n}，滿足bn=

1

2

anan+13n，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求數列{a_n}的通項公式a_n和s_n．
③設h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

，試比較[h（x）]ⁿ+2與h（xⁿ）+2ⁿ的大小（n∈N₊），并說明理由．

Answer 1

分析：①由冪函數的定義和已知條件求得正整數m=2．根據f′（x）=2x-

a

x

≥0對于區間（1，2]恒成立，求得a≤2．再根據g′（x）=1-

a

2 x

≤0對于區間（0，1）恒成立，求得 a≥2．綜上，可得a的值．
②由p（x）=

x

x+3

，可得

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），故數列{

1

an

+

1

2

}是公比為3的等比數列，且首項為

3

2

．根據等比數列的通項公式求得 a_n=

2

3n-1

．再由 bn=

1

2

anan+13n=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，用裂項法求得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．
③根據h（x）=x+

1

x

，當n≥2時，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=(x+

1

x

)n-（xn+

1

xn

） 利用二項式定理化為=

1

2

[

C

1 n

（xn-2+

1

xn-2

）+

C

2 n

（xn-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-1 n

（x2-n+

1

x2-n

）]≥

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n-1 n

=2ⁿ-2，即可比較比較[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ的大小（n∈N₊）．

解答：解：①由冪函數的定義和已知條件可得m²-2m-3為負奇數，故有正整數m=2．
由于函數f（x）=x²-alnx+m-2在（1，2]上是增函數，故f′（x）=2x-

a

x

≥0對于區間（1，2]恒成立，∴a≤2．
由g（x）=x-a

x

在（0，1）上為減函數，可得g′（x）=1-

a

2 x

≤0對于區間（0，1）恒成立，∴a≥2．
綜上，可得 a=2．
②∵p（x）=

x

x+3

，∴a_n+1=

an

an+3

，∴

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），故數列{

1

an

+

1

2

}是公比為3的等比數列，且首項為

3

2

．
∴a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1，∴a_n=

2

3n-1

．
再由 bn=

1

2

anan+13n=

2×3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，可得
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，=（

1

3-1

-

1

32-1

）+（

1

32-1

-

1

33-1

）+（

1

33-1

-

1

34-1

）+…+（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）=

1

2

-

1

3n+1-1

．
③設h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

=（x²-2lnx）′-x+2

x

-2

x

+

3

x

=x+

1

x

，
當n≥2時，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=(x+

1

x

)n-（xn+

1

xn

）=

C

0 n

•xn-0•(

1

x

)0+

C

1 n

•xn-1•(

1

x

)1+

C

2 n

•xn-2•(

1

x

)2+…+

C

n n

•xn-n•(

1

x

)n-（xn+

1

xn

）
=

C

1 n

•xn-2+

C

2 n

•xn-4+

C

3 n

•xn-6+…+

C

n-1 n

•x2-n=

1

2

[

C

1 n

（xn-2+

1

xn-2

）+

C

2 n

（xn-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-1 n

（x2-n+

1

x2-n

）]
≥

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n-1 n

=2ⁿ-2，
試比較[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ的大小（n∈N₊）．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，用裂項法進行數列求和，求函數的導數，比較兩個式子的大小的方法，屬于中檔題．