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已知雙曲線，點在曲線上，曲線的離心率為，點、為曲線上易于點A的任意兩點,為坐標原點。

（1）求曲線上方程；

（2）若為曲線的焦點，求最大值；

（3）若以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出定點坐標。

【答案】

（1）方程為

（2）由雙曲線的對稱性知，不妨設P在左支上，設，由焦半徑得：

，所以

所以，當時取等號。

的最大值是。

（3）設，聯立直線PQ和雙曲線方程得：

，所以得。

且，由題知，

所以，

，

代入的，

解得或（舍去），所以PQ方程為，

即得PQ過定點

（說明：另解一，可以利用對稱和當PQ垂直情況猜過軸上點，然后證明；

另解二，設AP斜率，求出P，Q坐標，然后利用兩點式寫出方程判斷過定點，）

【解析】略

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-y2=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁-C₂型點”
（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁-C₂型點”；
（3）求證：圓x²+y²=

內的點都不是“C₁-C₂型點”

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如圖，已知雙曲線C₁：，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁﹣C₂型點“

（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁﹣C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁﹣C₂型點”；

（3）求證：圓x²+y²=內的點都不是“C₁﹣C₂型點”

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科目：高中數學 來源：2013年上海市高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知雙曲線C₁：

，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁-C₂型點“
（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁-C₂型點”；
（3）求證：圓x²+y²=