Question

已知數列{a_n}為等差數列，且a₁=1．{b_n}為等比數列，數列{a_n+b_n}的前三項依次為3，7，13．求
（1）數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）∵已知數列{a_n}為等差數列，且a₁=1．{b_n}為等比數列，數列{a_n+b_n}的前三項依次為3，7，13，所以我們易得到三個關于b₁和公差d及公比q的方程，解方程后，易得數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由（1）易得數列{a_n+b_n}的通項公式，利用裂項法易得數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

解答：解：①設公差為d，公比為q
∵數列{a_n+b_n}的前三項依次為3，7，13
∴

a1+b1=3 a2+b2=7 a3+b3=13

又a₁=1
∴

b1=2 d=2 q=2

∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
②∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
∴a_n+b_n=（2n-1）+2ⁿ
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

點評：方程思想是解決數列問題的基本思想，通過公差（或公比）列方程（組）來求解基本量是數列中最基本的方法，同時在解題中也要注意數列性質的應用．若一個數列的通項可以分解為一個等差數列加上一個等比數列的形式，可用裂項法，將數列的和分為等差和等比兩部分，分別代入對應的公式，進行求解．（如第二步）