Question

如圖，在四棱錐中，，，且DB平分，
E為PC的中點，,                                 
（Ⅰ）證明 
（Ⅱ）證明
（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值

Answer 1

證明見解析 (3)正切值為。

（Ⅰ）要證明只需證明 E為PC的中點，在找一中點，構成中位線，得出平行；
（Ⅱ）證明，因為所以，
再找
BC在平面PBD內的射影，做垂線BH,也可證明，BH為BC在平面PBD內的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。
證明：設，連結EH，在中，因為AD=CD，且DB平分，所以H為AC的中點，又有題設，E為PC的中點，故,又
,所以
（2）證明：因為，，所以
由（1）知，,故
(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。
由,
在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。