Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn).
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，）到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

（Ⅰ）=1
（Ⅱ）

（Ⅰ）由橢圓上的點(diǎn)A到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4，可得2a= 4，即a="2.                                             " -------2分
又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此=1，解得b²=3，于是c²="1. " -------4分
所以橢圓C的方程為="1.    "                                 ----6分
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）.
由（Ⅰ）知，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為                            -----8分
則， 即x₁="2x+1" y₁="2y. "                     ----10分
因此=1，即為所求的軌跡方程     -----12分