Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求證：曲線總有斜率為的切線；

（Ⅲ）若存在，使成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù).           

.                        ……………………………………2分

     令，解得或.   ……………………………………3分

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.

……………………………………4分

（Ⅱ）

令，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518330762502203/SYS201205251835216093790344_DA.files/image013.png">，

所以恒成立.               ……………………………………6分

所以方程對任意正數(shù)恒有解.……………………………………7分

所以 曲線總有斜率為的切線.      ……………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：.

令，解得.    

.                                       ……………………………………9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518330762502203/SYS201205251835216093790344_DA.files/image019.png">，所以當(dāng)時，的變化情況如下表

		+	0	-	0	+
		↗		↘		↗

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518330762502203/SYS201205251835216093790344_DA.files/image035.png">，

所以，對于任意，.即此時不存在，使成立.

                                          ……………………………………11分

當(dāng)時，的變化情況如下表

		+	0	-
		↗		↘

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518330762502203/SYS201205251835216093790344_DA.files/image042.png">，

所以，函數(shù)在上的最小值是.          

因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518330762502203/SYS201205251835216093790344_DA.files/image038.png">，使成立，

所以，.

所以，.                             ……………………………………13分

所以的取值范圍是.              ……………………………………14分

 

【解析】略