Question

【題目】一只袋中裝有編號為1，2，3，…，n的n個小球，n≥4，這些小球除編號以外無任何區別，現從袋中不重復地隨機取出4個小球，記取得的4個小球的最大編號與最小編號的差的絕對值為ξn ， 如ξ4=3，ξ5=3或4，ξ6=3或4或5，記ξn的數學期望為f（n）．
（1）求f（5），f（6）；
（2）求f（n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：ξ5=3或4，P（ξ5=3）= ，P（ξ5=4）= ，

∴ξ5的概率分布為：

ξ5	3	4
P

則f（5）=E（ξ5）= = ．

ξ6=3或4或5，P（ξ6=3）= ，P（ξ6=4）= ，P（ξ6=5）= ，

ξ6的概率分布如下：

ξ6	3	4	5
P

則f（6）=E（ξ6）= = ．

（2）ξn=3，4，5，…，n﹣1，

P（ξn=i）= ，i=3，4，…，n﹣1，…

∴f（n）=E（ξn）= [i× ]

= [i×（n﹣i）× ]

= [i×（n﹣i）× ]

=

= [（n﹣i）× ]

= （nC ﹣i ）

=

=

= [（n+1） ]

= [（n+1）C ﹣4 ]

= ．

【解析】（1）ξ5=3或4，求出ξ5的概率分布，從而能求出f（5），ξ6=3或4或5，求出ξ6的概率分布列，由此能求出f（6）．（2）ξn=3，4，5，…，n﹣1，P（ξn=i）= ，i=3，4，…，n﹣1，f（n）=E（ξn），由此能求出結果．