Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與交于，兩點，點在上，是坐標原點，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）根據離心率和橢圓經過的點的坐標，建立方程組求解橢圓的方程；（2）寫出四邊形的面積表達式，結合表達式的特征進行判斷.

解：（1）因為橢圓的離心率，所以，即.

因為點在橢圓上，所以.

由，

解得.

所以橢圓的標準方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為.

當直線的斜率存在時，設直線的方程是，

聯立方程組，消去，得，

，，，

.

，

點到直線的距離是.

由，得，.

因為點在曲線上，所以有，整理得.

由題意，四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

.

由，得，故四邊形的面積是定值，其定值為.