Question

已知復(fù)數(shù)Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i為虛數(shù)單位），以下判斷中正確的為（　　）

A．不存在n∈N^*，使Z為純虛數(shù)

B．對(duì)任意的n∈N^*，Z為實(shí)數(shù)

C．存在無(wú)限個(gè)n∈N^*，使Z為實(shí)數(shù)

D．不存在n∈N^*，使Z為實(shí)數(shù)

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式定理得到Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，因?yàn)楫?dāng)n=4k（k∈Z）時(shí)，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1得到存在無(wú)限個(gè)n∈N^*，使Z為實(shí)數(shù)．

解答：解：Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，
因?yàn)楫?dāng)n=4k（k∈Z）時(shí)，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1=（-4）^k-1∈R
所以當(dāng)n=4k（k∈Z）時(shí)，復(fù)數(shù)Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的靈活應(yīng)用，在高考中常出現(xiàn)在小題中，屬于基礎(chǔ)題．