Question

（本小題滿分12分）
已知函數．
（1）當時，求的單調區間；
（2）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）的單調遞增區間是（e，＋∞），遞減區間是（0，e）．（2）．

(1)當m=-2時，解析式確定，可以求導，利用導數大（小）于零，求出單調增（減）區間，同時要注意函數的定義域.
(2)當m＝時，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．
由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥,
然后構造函數,轉化為利用導數研究其單調性，極值，最大值即可.
（1）當m＝－2時，f（x）＝x（ln x－2）＝xln x－2x，
定義域為（0，＋∞），且f′（x）＝ln x－1.
由f′（x）>0，得ln x－1>0，所以x>e.由f′（x）<0，得ln x－1<0，所以0<x<e.
故f（x）的單調遞增區間是（e，＋∞），遞減區間是（0，e）．
（2）當m＝時，不等式g（x）≥f（x），即x³＋x≥x恒成立．
由于x>0，所以x²＋1≥ln x＋，亦即x²≥ln x＋，所以a≥ .
令h（x）＝ ，則h′（x）＝，由h′（x）＝0得x＝1.
且當0<x<1時，h′（x）>0；當x>1時，h′（x）<0，
即h（x）在（0,1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減， 
所以h（x）在x＝1處取得極大值h（1）＝，也就是函數h（x）在定義域上的最大值．因此要使≥恒成立，需有≥，的取值范圍為．