Question

已知a、b、c是互不相等的非零實數．
求證：三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根．

Answer 1

證明：反證法：
假設三個方程中都沒有兩個相異實根，
則△₁=4b²-4ac≤0，△₂=4c²-4ab≤0，△₃=4a²-4bc≤0．
相加有a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．①
由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根．
分析：假設要證的結論的反面成立，即三個方程中都沒有兩個相異實根，則他們的判別式都小于0，利用不等式的性質可得
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，由于a、b、c互不相等，進而可得矛盾，原命題得到證明．
點評：本題考查反證法證題的方法和步驟，假設結論的反面成立，依據定義、定理和性質推出矛盾，說明假設不對，從而要證的結論成立．