Question

已知點(diǎn)F橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上，以M為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長為2的正三角形；又橢圓E上的P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+n對(duì)稱．
（I）求橢圓E的方程；
（II）當(dāng)直線l過點(diǎn)（0，

1

5

）時(shí)，求直線PQ的方程；
（III）若點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，且∠PCQ=

2π

3

，求△PCQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）先利用△ABM是邊長為2的正三角形求出c，再利用點(diǎn)M在橢圓E上即可求橢圓E的方程；
（II）把直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+n對(duì)稱．即可求直線PQ的方程；
（III）把△PCQ面積用|PQ|表示出來，再利用弦長公式求出|PQ|即可求△PCQ面積的最大值．

解答：解：（I）由題意可知：
M （c，2）且c為正三角形的高，所以c=

3

將點(diǎn)M坐標(biāo)代入橢圓方程可得：

3

a2

+

4

b2

=1與a²=b²+3聯(lián)立可得：a²=9，b²=6，所以橢圓方程為：

x2

9

+

y2

6

=1
（II）設(shè)PQ：y=-x+m代入橢圓方程2x²+3y²=18整理得5x²-6mx+3m²-18=0
△=36m²-4•5•（3m²-18）＞0，則-

15

＜m＜

15

令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故x1+x2=

6m

5

，x1•x2=

3m2-18

5

y1+y2 =-(x1+x2)+2m=

4m

5

，則P、Q的中點(diǎn)為(

3m

5

，

2m

5

)
由于l方程為y=x+

1

5

，故

2m

5

=

3m

3

+

1

5

，得m=-1
則直線PQ的方程為y=-x-1
（III）S△PCQ=

|PQ|

2

•

|PQ|

2 3

=

1

4 3

[(x1+x2)2-4x1x2][1+（-1）²]

=

1

2 3

[(

6m

5

)2 -4

3m2-18

5

]=

-12m2+180

25 3

則當(dāng)m=0時(shí)，S_△POQ的最大值為

12 3

5

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關(guān)知識(shí)，以及分析問題與解決問題的能力．