Question

如果對于任意一個三角形，只要它的三邊長都在函數的定義域內，則 也是某個三角形的三邊長，則稱函數為“保三角形函數”.現有下列五個函數： ①；②；③；④；⑤.
則其中是 “保三角形函數”的有                  .（寫出所有正確的序號）

Answer 1

①④

試題分析：滿足三角形的條件是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
因為是單調函數，且是自變量x的2倍，所以當三邊長都在函數的定義域內，2a，2b，2c，也極值函數定義域內，且滿足構成三角形的條件，所以①是；
②中，當三邊長都在函數的定義域內，而雖在函數定義域內，由于函數為增函數，且增大幅度的不同，不一定滿足構成三角形的條件，所以不是。
③中取分別為3，4，5，則函數值分別為9,16,25，不能構成三角形，不是
④f(x)＝ 是保三角形函數.
對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因為(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.
同理可以證明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ 是保三角形函數.
⑤在定義域內不單調，很明顯看出來，不是。綜上知是“保三角形函數”的有①④。
點評：難題，本題是新定義問題，作為填空題，可以通過舉反例排除，集合函數圖象“猜測”判斷。作為解析該題，則為難題。