Question

用表示自然數的所有因數中最大的那個奇數，例如:9的因數有1,3,9,，10的因數有1,2,5,10,,那么      ；         .

Answer 1

85，（4ⁿ-1）．

此題答案為：85，（4ⁿ-1）
據題中對g（n）的定義，判斷出g（n）=g（2n），且若n為奇數則g（n）=n，利用等差數列的前n項和公式及逐差累加的方法及等比數列的前n項和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1），令n=4求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）．
解：由g（n）的定義易知g（n）=g（2n），且若n為奇數則g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
則f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]/2+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ==（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=（4ⁿ-1）+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）=（4^n-1-1）+1
令n=4得
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）= (4³-1)+1=85
故答案為85，（4ⁿ-1）．