Question

設(shè)a是實數(shù)，f(x)=a-

2

1+2x

(x∈R)
（1）已知函數(shù)f(x)=a-

2

1+2x

(x∈R)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．
（2）試證明：對于任意實數(shù)a，f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，代入數(shù)據(jù)解關(guān)于a的方程可得；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，作差可判f（x₁）＜f（x₂），由單調(diào)性的定義可得．

解答：解：（1）由題意可得x∈R，函數(shù)為奇函數(shù)必有f（0）=0
代入數(shù)據(jù)可得a-

2

1+20

=0，解得a=1
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
作差可得f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，涉及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．