Question

（本小題滿分14分）

如圖，直線和相交于點且，點.以為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點的距離相等.若為銳角三角形，，，且.

（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當的坐標系，求曲線段C所在的圓錐曲線的標準方程；

（2）在（1）所建的坐標系下，已知點在曲線段C上，直線，求直線被圓截得的弦長的取值范圍.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：法一：

（1）依題意易知曲線段c是拋物線的一部分

（2）如圖建立坐標系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線

為y軸，點O為坐標原點.

依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線

的一段，其中A、B分別為C的端點.

設曲線段C的方程為，y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0）

其中x_A、x_B分別為A、B的橫坐標，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）

由|AM|＝，|AN|＝3得：

（x_A＋）²＋2px_A＝17             ①

（x_A）²＋2px_A＝9        ②

由①②兩式聯立解得x_A＝，再將其代入①式并由p>0，解得或

因為△AMN是銳角三角形，所以＞x_A，故舍去

所以p＝4，x_A＝1．由點B在曲線段C上，得x_B＝|BN|＝4．

綜上得曲線段C的方程為y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

（3）點在曲線段C上，

圓的圓心到直線的距離為

則直線被圓截得的弦長

所以則直線被圓截得的弦長的取值范圍為

 

解法二：

（1）同前

（2）如圖建立坐標系，分別以l₁、l₂為x、y軸，

M為坐標原點.作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別

為E、D、F.設A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）

依題意有x_A＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，

y_A＝|DM|＝

由于△AMN為銳角三角形，故有

x_N＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，x_B＝|BF|＝|BN|＝6．

設點P（x，y）是曲線段C上任一點，則由題意知P屬于集合

｛（x，y）|（x－x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0｝

故曲線段C的方程為y²＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

（3）方法同前

 

【解析】略