Question

（2009•河東區二模）如圖所示，四面體ABCD中，O、E分別是BD和BC的中點，且AB=AD=

2

，AC=BC=CD=BD=2
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證AO⊥平面BCD，只要證明AO垂直于平面BCD內的兩條相交直線即可，由等腰三角形知識得到
AO⊥BD，再由邊的關系結合勾股定理得到AO⊥OC，則問題得到證明；
（2）首先求出△CDE的面積，再利用等積法求三棱錐E-ACD的體積．

解答：（1）證明：在△ABD中，AB=AD，O為BD中點，∴AO⊥BD，
又AB=AD=

2

，BD=2，∴AB²+AD²=BD²

∴∠BAD=90°，△ABD為Rt△，且有AO=

BD

2

=1
又在等邊△BDC中，OC=

3

，AC=2，
∴AC²=AO²+OC²∴∠AOC=90°，∴AO⊥OC
∵OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD；
（2）∵S△CDE=

1

2

DE•EC=

1

2

•

3

•1=

3

2

∴VE-ACD=VA-CDE=

1

2

S△CDE•OA=

1

3

•

3

2

•1=

3

6

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了等積法求多面體的體積，考查了學生的空間想象能力，是中檔題．