Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F₁F₂|=8，P為橢圓上的一點(diǎn)，|PF₁|+|PF₂|=10，PF₁⊥PF₂，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：設(shè)PF₁=x₁，PF₂=x₂，則可知x₁+x₂的值，根據(jù)勾股定理知x₁²+x₂²=F₁F₂²，進(jìn)而求得x₁x₂的值．根據(jù)韋達(dá)定理可知x₁，x₂是函數(shù)x²-10x+18=0的根，通過(guò)△判定方程有2不同根，故知P至少有2個(gè)，又根據(jù)橢圓的對(duì)稱能求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)PF₁=x₁，PF₂=x₂，則x₁+x₂=10，
∵PF₁⊥PF₂，
∴x₁²+x₂²=64
∴x₁x₂=

1

2

，
[（x₁+x₂）²-x₁²+x₂²]=18，
依題意x₁，x₂，是函數(shù)x²-10x+18=0，
△=100-72=28＞0故方程有兩個(gè)不同根．
又根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用．