Question

【題目】已知函數，．

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程在區間內無零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間是，單調減區間是．（2）

【解析】

（1）求出導數，然后由得增區間，得減區間．

（2）在上，方程化為，求出導函數，

由時，，因此對分類討論，時，恒成立，時，有解，通過研究的單調性可得到的單調性，由零點存在定理確定有無零點．綜合后可得結論．

（1）依題意，．

令，解得，故函數的單調增區間是，

由，得，單調減區間是．

（2）原方程可化為，即．

令，，則．

是增函數，時，，

(ⅰ)當時，恒成立．

在上是增函數，，故原方程在內無零點．

(ⅱ)當時，由得，時，，當時，，故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

又，在區間上恒小于0．∴，

下面討論的正負；

令，．

則，

令是的導函數，

則，在上增函數．

．即，又

由零點存在性定理知，原方程在上有零點．即在上有零點．

綜上所述，所求實數的取值范圍是．