Question

（本小題共14分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）

【解析】本試題主要是考查了面面垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。

（1）利用線面垂直的的判定定理和面面垂直的判定定理得到鄭敏。

（2）合理的建立空間直角坐標系，可以表示出平面的法向量和法向量的夾角，然后借助于向量的數量積公式的得到二面角的平面角的求解。

解：（1）∵       ∴

       又∵⊥底面       ∴

      又∵           ∴平面    而平面

   ∴平面平面                …………6分

（2）由（1）所證，平面  

所以∠即為二面角P-BC-D的平面角，即∠   ………………7分

而，所以

分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系。……………8分

 則，，，

所以，，，……………10分

設平面的法向量為，則   

即  可解得            ……………12分

∴與平面所成角的正弦值為  ………14分

(另外做出與平面所成角或利用等體積求出也可)