Question

已知動點P到直線y=1的距離比它到點F（0，

1

4

）的距離大

3

4

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l：y=m（x-3）對稱，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）轉化題中的條件，應用拋物線的定義求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設點P的軌跡上點A，B關于直線l對稱，利用中點在對稱軸上及斜率間的關系和判別式大于0，得到實數m的取值范圍，再把此范圍在實數集內取補集．

解答：解：：（Ⅰ）據題意可知，點P到直線y=-

1

4

的距離等于它到點F（0，

1

4

）的距離，
所以點P的軌跡是以點F（0，

1

4

）為交點，直
線y=-

1

4

為準線的拋物線．（3分）
因為p=

1

2

，拋物線開口向上，故
點P的軌跡方程是x²=y．
（Ⅱ）若m=0，則直線l為x軸，
此時拋物線x²=y與直線l相切．
若m≠0，設與直線l垂直的直線為l′：y=-

1

m

x+b，
代入y=x²，得x²+

1

m

x-b=0（*）
設直線l′與拋物線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁=x₂=-

1

m

，
從而y₁+y₂=-

1

m

（x₁+x₂）+2b=

1

m2

+2b．
假設點A，B關于直線l對稱，
則AB的中點（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在l上，
所以

1

2m2

+b=m（

-1

2m

-3），
即b=-

1

2

-3m-

1

2m2

．
由于方程（*）有兩個不相等的實根，則△=(

1

m

)2+4b＞0．
所以(

1

m

)2+4（-

1

2

-3m-

1

2m2

）＞0，
整理得12m³+2m²+1＜0，
即（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．
由6m²-2m+1=6(m-

1

6

)2+

5

6

＞0恒成立，
所以2m+1＜0，
即m＜-

1

2

．
所以當m＜-

1

2

時，拋物線上存在兩點關于直線l對稱．
故當拋物線y=x²上不存在兩點關于直線l：y=m（x-3）對稱時，
實數m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查用定義法求軌跡方程，直線與拋物線的位置關系綜合應用，體現轉化的數學思想．