Question

【題目】設數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（1）求證：{an}是首項為1的等比數列；
（2）若a2＞﹣1，求證 ，并給出等號成立的充要條件．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Sn+1=a2Sn+a1，①

∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②

②﹣①可得：an+2=a2an+1

∵a2≠0，∴

∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1

∵a2≠0，∴a1=1

∴{an}是首項為1的等比數列；

（2）證明：當n=1或2時， 等號成立

設n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1， ，所以要證的不等式可化為

（n≥3）

即證 （n≥2）

a2=1時，等號成立

當﹣1＜a2＜1時， 與 同為負；

當a2＞1時， 與 同為正；

∴a2＞﹣1且a2≠1時，（ ）（ ）＞0，即

上面不等式n分別取1，2，…，n累加可得

∴

綜上， ，等號成立的充要條件是n=1或2或a2=1．

【解析】（1）根據Sn+1=a2Sn+a1 ， 再寫一式，兩式相減，即可證得{an}是首項為1的等比數列；（2）當n=1或2時， 等號成立，設n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（1）知a1=1， ，所以要證的不等式可化為 （n≥3），即證 （n≥2），a2=1時，等號成立；再證明a2＞﹣1且a2≠1時，（ ）（ ）＞0，即可證得結論．
【考點精析】利用等比數列的前n項和公式和等比關系的確定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知前項和公式：；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷．