Question

(本題13分) 設橢圓的對稱中心為坐標原點,其中一個頂點為,右焦點與點的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在經過點的直線,使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足？若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)依題意,設橢圓方程為,則其右焦點坐標為,由,得,即,故. 又∵,∴,從而可得橢圓方程為.——  6分

(2)由題意可設直線的方程為,由知點在線段的垂直平分線上,

由消去得,即可得方程…（*）

當方程（*）的即時方程（*）有兩個不相等的實數根.

設,,線段的中點,則是方程（*）的兩個不等的實根,故有.從而有  ,.

于是,可得線段的中點的坐標為

又由于,因此直線的斜率為,

由,得，即，解得，∴，

∴綜上可知存在直線：滿足題意.————————13分