Question

如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中A₁、A₂、A₃、A₄是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處．今在道路網M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M為止．
（1）求甲經過A₂到達N的方法有多少種；
（2）求甲、乙兩人在A₂處相遇的概率；
（3）求甲、乙兩人相遇的概率．

Answer 1

分析：（1）滿足條件的事件是甲經過A₂到達N，可分為兩步：甲從M經過A₂的方法數C₃¹種；甲從A₂到N的方法數C₃¹種；根據分步計數原理得到結果數．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是C₆³C₆³，甲經過A₂的方法數為（C₃¹）²；乙經過A₂的方法數也為（C₃¹）²，得到甲、乙兩人相遇經A₂點的方法數為（C₃¹）⁴，根據概率公式得到結果．
（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法，根據分類計數原理得到結果數，求得概率．

解答：解：（1）甲經過A₂，可分為兩步：
第一步，甲從M經過A₂的方法數為C₃¹種；
第二步，甲從A₂到N的方法數為C₃¹種；
所以甲經過A₂到達N的方法數為（C₃¹）²=9種．
（2）由（1）知，甲經過A₂的方法數為（C₃¹）²；乙經過A₂的方法數也為（C₃¹）²．
所以甲、乙兩人在A₂處相遇的方法數為（C₃¹）⁴=81；
甲、乙兩人在A₂處相遇的概率為P=

( C 1 3 )4

C 3 6 C 3 6

=

81

400

．
（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，
他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法；
所以：（C₃⁰）⁴+（C₃¹）⁴+（C₃²）⁴+（C₃³）⁴=164
故甲、乙兩人相遇的概率P=

164

400

=

41

100

．
答：（1）甲經過A₂到達N的方法數為9種；
（2）甲、乙兩人在A₂處相遇的概率為

81

400

；
（3）甲、乙兩人相遇的概率

41

100

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查分類計數原理，考查分步計數原理，是一個綜合題，解題的關鍵是注意題目中出現的對兩個人相遇的理解