Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常數，a∈R.
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=1時，f（x）=x﹣lnx， 則
且x∈（0，e]得x∈[1，e）單調遞增；
且x∈（0，e]得x∈（0，1）單調遞減；
當x=1時取到極小值1；
（II）
①當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；
②當a＞0時，f′（x）=0的根為
當 時， ，解得a=e2
③當 時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；）
綜上所述a=e2
【解析】（I）把a=1代入原函數，求出其導函數，即可求f（x）的單調性、極值；（II）先求出其導函數，通過分類討論分別求出導數為0的根，以及單調性和極值，再與f（x）的最小值是3相結合，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．