Question

（2012•湖北模擬）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），一條漸近線的傾斜角為

π

3

，則離心率e為

2

，

a2+e

b

的最小值為

2 6

3

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的漸近線方程，求出a，b的關系，然后設出a，b，求出c，得到離心率，通過基本不等式求出表達式的最小值．

解答：解：由題意可知，

b

a

=tan

π

3

=

3

，設a=k，b=

3

k，c=2k，
所以e=

c

a

=2．

a2+e

b

=

k2+2

3 k

=

k

3

+

2

3 k

≥2

k 3 • 2 3 k

=

2 6

3

，
當且僅當k=

2

時取等號．
故答案為：2；

2 6

3

．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意均值不等式的合理運用．