Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①當c=0時，f（-x）=-f（x）恒成立
②當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實數根
③函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱
④方程f（x）=0至多有兩個實數根．
其中正確例題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①利用函數奇偶性的定義可判斷．②當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調增函數，方程f（x）=0只有一個實根．
③利用函數圖象關于點對稱的定義，可證得函數f（x）圖象關于點（0，c）對稱．
④舉出反例如c=0，b=-2，可以判斷．

解答：解：①當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx為奇函數，f（-x）=-f（x）恒成立，故①正確．
②b=0，c＞0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調增函數，且值域為R，故方程f（x）=0，只有一個實數根，故②正確．
③因為f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確．
④當c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了函數奇偶性、對稱性、單調性以及二次函數的圖象和性質．對函數奇偶性和單調性的充分理解，并用于二次函數當中，是解決本題的關鍵．