Question

已知函數f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的圖象經過點A（0，1）、B（

π

2

，1）．當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到f（x）的圖象．

Answer 1

（Ⅰ）∵函數圖象過點A（0，1）、B（

π

2

，1），
把兩點坐標代入函數解析式得：

a+c=1① a+b=1②

，
①-②得：c-b=0，即b=c，
∴f(x)=a+bsinx+bcosx=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)，
∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)的最大值為2

2

-1，
∴

2

b+a=2

2

-1③，
聯立②③，解得：

a=-1 b=2

，
則f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1；
（Ⅱ）分三步平移：
（i）由y=sinx圖象上所有點向左平移

π

4

個單位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象；
（ii）由f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象上所有點的縱坐標變為原來的2

2

倍，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象；
（iii）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象上所有點向下平移一個單位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的圖象．