Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，點在上，且，，現將沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為，

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據折疊前后關系得PC⊥CD，根據平幾知識得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用線面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根據面面垂直判定定理得結論，（2）先根據線面角得△PBE為等腰直角三角形，再取BC的中點O，證得PO⊥平面EBCD，建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得各面法向量，根據向量數量積得向量夾角，最后根據向量夾角與二面角關系得結果.

（1）證明：∵ABCD，ABBE，∴CD//EB，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；

（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，

由PE與平面PBC所成的角為45°得∠EPB=45°，

∴△PBE為等腰直角三角形，∴PB=EB，

∵AB//DE，結合CD//EB 得BE=CD=2，

∴PB=2，故△PBC為等邊三角形，

取BC的中點O，連結PO，

∵ PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

以O為坐標原點，過點O與BE平行的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系如圖，

則，，

從而,, ，

設平面PDE的一個法向量為，平面PEB的一個法向量為，

則由得，令得，

由得 ，令得，

設二面角D-PE-B的大小為，則，

即二面角D-PE-B的余弦值為.