Question

某市場經營一批進價為30元/件的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價x（元）與日銷售量y（件）之間有如下表所示的關系．

x	…	30	40	45	50	…
y	…	60	30	15	0	…

（1）根據表中提供的數據，確定y與x的一個函數關系式y=f（x）；
（2）設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據上述關系，寫出P關于x的函數關系式，并指出銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？

Answer 1

分析：（1）先猜測為一次函數，代入點的坐標求出解析式后，再進行驗證即可；
（2）銷售利潤函數=（售價-進價）×銷量，代入數值得二次函數，從而可求出最值．

解答：解：（1）在平面直角坐標系中畫出各點，如圖：，猜測為一次函數，故設f（x）=kx+b（k，b為常數），
則

60=30k+b 30=40k+b

，解得：

k=-3 b=150

，
∴f（x）=-3x+150，30≤x≤50，
把點（45，15），（50，0）代入函數解析式，檢驗成立，
∴f（x）=-3x+150，30≤x≤50；
（2）日銷售利潤為：P=（x-30）•（-3x+150）=-3x²+240x-4500，30≤x≤50；
∵函數的對稱軸為x=-

240

2×(-3)

=40，∴當銷售單價為40元時，所獲利潤最大．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查一次函數、二次函數，考查二次函數的最值，正確確定函數模型是關鍵．