Question

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直線l過點O（0，0），且被⊙C₁截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（2）設P為平面上的點，滿足：過點P的任意互相垂直的直線l₁和l₂，只要l₁和l₂與⊙C₁和⊙C₂分別相交，必有直線l₁被⊙C₁截得的弦長與直線l₂被⊙C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標；
（3）將（2）的直線l₁和l₂互相垂直改為直線l₁和l₂所成的角為60°，其余條件不變，直接寫出所有這樣的點P的坐標．（直線與直線所成的角與兩條異面直線所成的角類似，只取較小的角度．）

Answer 1

分析：（1）分類討論，由垂徑定理，結合點到直線距離公式，即可求得結論；
（2）考慮特殊情況，確定點P的坐標，下面對這兩點加以檢驗，即可得到結論；
（3）有四個點，即可寫得它們的坐標．

解答：解：（1）當直線l的斜率不存在時，顯然不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=kx，即kx-y=0
由垂徑定理，得：圓心C₁到直線l的距離d=

42-( 2 3 2 )2

=1，
結合點到直線距離公式，得：

|3k+1|

k2+1

=1，解得：k=0或k=-

3

4

求直線l的方程為：y=0或y=-

3

4

x，即y=0或3x+4y=0…（4分）
（2）從形入手．由題意知任意的互相垂直的l₁和l₂均使所截得的弦長相等，我們考慮特殊情況，當互相垂直的l₁和l₂分別過⊙C₁、⊙C₂的圓心時，此時的△PC₁C₂時等腰直角三角形，可以解得這樣的點P的坐標分別為（1，5）、（1，-3），…（6分）
下面對這兩點加以檢驗．
當P為（1，5）時，根據題意斜率必然存在，設：l₁：y-5=k（x-1），l₂：y-5=-

1

k

(x-1)，點C₁到l₁的距離為d1=

|4k-4|

k2+1

，點C₂到l₂的距離為d2=

|4k-4|

k2+1

，所以d₁=d₂，有兩圓半徑相等，所以2

4-d12

=2

4-d22

，即直線l₁被⊙C₁截得的弦長與直線l₂被⊙C₂截得的弦長相等．
同理可以檢驗，（1，-3）也滿足題意．                       …（12分）
（3）有四個點，它們的坐標分別為：(1，1-4

3

)、(1，1+4

3

)、(1，1-

4

3

3

)、(1，1+

4

3

3

)
…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．