Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點，M是棱PC上的點，．

（1）若點M是棱PC的中點，求證：平面；
（2）求證：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C為，設PM=tMC，試確定t的值．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）3．

試題分析：（1）連接AC，交BQ于N，連接MN，在三角形PAC中，利用中位線定理證明PA//MN，由線線平行得線面平行；（2）證PQ⊥AD，QB⊥AD，由PQ∩BQ=Q，所以AD⊥平面PBQ，再利用線面垂直得面面垂直；（3）先證PQ⊥面ABCD，（注意此步不可省略），再以Ｑ為原點建立空間直角坐標系，寫出各點坐標及平面BQC的法向量，并設，利用關系PM=tMC，用坐標表示出來，列方程解出，并得，
，從而易得平面MBQ法向量為，再由數量積運算得，可得t值．
試題解析：證明：（1）連接AC，交BQ于N，連接MN．         1分
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M是棱PC的中點，∴ MN // PA                             2分
∵ MN平面MQB，PA平面MQB，       3分
∴ PA // 平面MBQ．                    4分
（2）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．   6分
∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，        7分
∴BQ⊥平面PAD．                                    8分
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．                   9分
另證：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點∴ BC // DQ 且BC= DQ， 
∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．           6分
∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．                          7分
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．                    8分
∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．                         9分
（Ⅲ）∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．     10分
（不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；
，，，．   11分
設，
則，，∵，
∴ ，   ∴     ，         12分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量為．                13分
∵二面角M-BQ-C為30°， ，∴ ．  14分