Question

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=

3

x和l2：y=-

3

x，其焦點在x軸上，實軸長為2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與雙曲線相切于點M且與右準線交于N，F為右焦點，求證：∠MFN為直角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出雙曲線的方程，根據焦點在x軸上，實軸長為2，求出參數，即可求雙曲線的方程；
（Ⅱ）由y=kx+1代入雙曲線方程，消去y，利用△=0，求出k的值，進而求出M，N的坐標，即可證明結論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，設雙曲線方程為 3x2-y2=λ(λ＞0)⇒

x2

λ 3

-

y2

λ

=1．
又2a=1，∴a=1，
∴

λ 3

=1，∴λ=3，
∴方程為x2-

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：由y=kx+1代入雙曲線方程，消去y得（3-k²）x²-2kx-4=0，
由

3-k2≠0 △=0

，可得

k2≠3 k2=4

，
∴k=±2，
當k=2時得 x_M=-2，代入y=2x+1得y_M=-3，
∴M（-2，-3），
由

y=2x+1 x= 1 2

⇒N(

1

2

，2)，
∴F(2，0)⇒

FM

=(-4，-3)，

FN

=(-

3

2

，2)⇒

FM

•

FN

=6-6=0⇒

FM

⊥

FN

；
當k=-2時同理得M(2，-3)，N(

1

2

，0)，F(2，0)⇒

FM

=(0，-3)，

FN

=(-

3

2

，0)⇒

FM

•

FN

=0⇒

FM

⊥

FN

，
綜上：∠MFN為直角．

點評：本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．