Question

（14分）如圖所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.

（1）求的長；

（2）求cos< >的值；

（3）求證：A₁B⊥C₁M.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）見解析。

【解析】

試題分析：如圖，建立空間直角坐標系O—xyz.

（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴| |=.

（2）依題意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos<，>=.

（3）證明：依題意，得C₁（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

考點：本題主要考查向量的坐標運算、數量積、模的概念及計算、夾角公式的應用，考查了考生的空間想象能力、邏輯推理能力。

點評：本題通過距離空間直角坐標系，將幾何問題轉化成空間向量，運用空間向量的基本知識，是“用數學”的好題.