Question

已知奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足：f'（1）=0，f(1)=-

2

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直；
（Ⅲ）若對于任意實數α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f（x）為奇函數，可得b=d=0，求導函數，利用f'（1）=0，f(1)=-

2

3

，即可求得函數解析式；
（Ⅱ）設任意兩數x₁，x₂∈[-1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，求出這兩點的切線的斜率，證明斜率之積k₁k₂≠-1即可；
（Ⅲ）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等價于|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m，由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，只需求出f(x)=

1

3

x3-x在[-2，2]上的最值，即可求得m的最小值．

解答：（Ⅰ）解：因為f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），所以b=d=0，
所以f（x）=ax³+cx，求導函數，可得f′（x）=3ax²+c
由f'（1）=0，得3a+c=0，由f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

解之得：a=

1

3

，c=-1
從而，函數解析式為：f(x)=

1

3

x3-x
（Ⅱ）證明：由于f'（x）=x²-1，設任意兩數x₁，x₂∈[-1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，則這兩點的切線的斜率分別是：k1=f′(x1)=

x

2 1

-1，k2=f′(x2)=

x

2 2

-1
又因為-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0，知k₁k₂≠-1
故當x∈[-1，1]時，函數f（x）圖象上任意兩點的切線不可能垂直
（Ⅲ）解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等價于|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m
由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，∴只需求出f(x)=

1

3

x3-x在[-2，2]上的最值
而f'（x）=x²-1，由f'（x）=0解得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 2 3	遞增	2 3	遞減	- 2 3	遞增	2 3

∴f(x)max=

2

3

，f(x)min=-

2

3

，
∴|f(x)|max-|f(x)|min=

4

3

≤m，
∴m的最小值為

4

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關鍵是將|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，轉化為|f（x）|_max-|f（x）|_min≤m．