Question

在數(shù)列中，，，且；
（1）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)；

Answer 1

（1）略（2）（3）證明略

本題源自等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。
（1）證明：由題設(shè)（），得
，即，．
又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1），
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
將以上各式相加，得（）．
所以當(dāng)時(shí)，
上式對(duì)顯然成立．
（3）由（2），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．