Question

在平面直角坐標系xOy中，點_P到定點F（-1，0）的距離的兩倍和它到定直線x=-4的距離相等．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程，并說明軌跡C是什么圖形；
（Ⅱ）已知點Q（l，1），直線l：y=x+m（m∈R）和軌跡C相交于A、B兩點，是否存在實數m，使△ABQ的面積S最大？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據直接法求軌跡方程求解；
（II）假設存在，利用直線與圓錐曲線相交弦長公式，構造三角形面積關于m的函數，利用函數求最值的方法求解即可．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），根據題意，2|PF|=d．
即：2

(x+1)2+y2

=|4+x|，
平方化簡得3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
點P的軌跡是長軸、短軸長分別為4、2

3

，焦點在x軸上的橢圓．
（Ⅱ）設直線L與軌跡C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
聯立方程得：

y=x+m x2 4 + y2 3 =1

⇒7x²+8mx+4m²-12=0，
x₁+x₂=-

8m

7

，x₁x₂=

4m2-12

7

，
△=64m²-4×7×4（m²-3）=48（7-m²）＞0
|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 6

7

×

7-m2

．
點Q（1，1）到L：y=x+m的距離為

|m|

2

．
∴S_△=

1

2

×

4 6

7

×

7-m2

×

|m|

2

=

2 3

7

×

(7-m2)m2

≤

2 3

7

×

7-m2+m2

2

=

3

．
當且僅當7-m²=m²，即m=±

14

2

時，滿足△=48（7-m²）＞0，
∴存在實數m=±

14

2

，使△ABQ的面積S最大，最大值為

3

．

點評：本題考查直接法求軌跡方程及直線與圓錐曲線的位置關系．存在性問題的常見解法：假設存在，依據題設條件求出，說明存在；求不出或得出明顯矛盾，說明不存在．