Question

函數y=

1-(x+2)2

圖象上存在不同的三點到原點的距離成等比數列，則

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2這五個數中可以成為公比的數的個數是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：由題意可知，函數圖象為上半圓，根據圖象可得圓上點到原點的最短距離為1，最大距離為3．根據等比數列的性質建立方程，可計算出公比的范圍，從而判斷出結論．

解答： 解：∵y=

1-(x+2)2

，
∴（x+2）²+y²=1，（y≥0），對應的圖象為圓心（-2，0），半徑r=1的上半圓．
則圓上的點到原點的距離的最小值為OA=1，最大值為OB=3，
若函數y=

1-(x+2)2

圖象上存在不同的三點到原點的距離成等比數列，
則不妨設a₁=1，則由題意可知a_n=3，n≥3，
則a_n=3=q^n-1，
則當n=3時，q²=3，解得q=

3

，此時公比最大，
若a₁=3，則由題意可知a_n=1，n≥3，
則a_n=3q^n-1=1
則當n=3時，q²=

1

3

，解得q=

3

3

，此時公比最小，
即滿足條件的公比的q滿足

3

3

≤q≤

3

，
則則

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2這五個數中可以成為公比的數為

3

3

，

3

2

，

3

共有三個，
故選：B

點評：本題的考點是等比關系的確定，主要考查等比數列的定義，等比中項以及函數作圖，屬于中檔題．