Question

（2012•湛江一模）已知函數f（x）的圖象是在[a，b]上連續不斷的曲線，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)=2sinx(0≤x≤

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)．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）判斷f（x）是否為[0，

π

2

]上的“k階收縮函數”，如果是，請求對應的k的值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，代入計算，可得f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）由題意，f₂（x）-f₁（x）=2sinx，若f（x）是為[0，

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]上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在[0，

π

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]上恒成立，且?x0∈[0，

π

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]，使得2sinx＞（k-1）x成立，構建新函數φ（x）=sinx-x，判斷函數在[0，

π

2

]單調遞減，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意可得，f1(x)=0，f2(x)=2sinx，x∈[0，

π

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]．…（4分）
（2）f₂（x）-f₁（x）=2sinx．…（5分）
若f（x）是為[0，

π

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]上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在[0，

π

2

]上恒成立…（8分）
且?x0∈[0，

π

2

]，使得2sinx＞（k-1）x成立．…（9分）
令φ(x)=sinx-x，x∈[0，

π

2

]，則φ′（x）=cosx-1＜0．…（10分）
∴φ（x）=sinx-x在[0，

π

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]單調遞減，
∴φ(x)≤φ(0)=0，x∈[0，

π

2

]，即sinx-x≤0…（12分）
于是2sinx≤2x在[0，

π

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]恒成立．
又?x0=

π

2

，2sinx＞x成立
故存在最小的正整數k=2，使得f（x）是為[0，

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]上的“k階收縮函數”…（14分）

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查學生對新問題的理解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．