Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令n=1，﹣2a2+3=0，a2= ，

令n=2，﹣ a3﹣ +4=0，a3= ，

令n=3，﹣ a4﹣ +4=0，a4=

（2）解：猜想an= （n∈N*）．

證明：當n=1時，a1=1= ，所以an= 成立，

假設當n=k時，an= 成立，即ak= ，

則（ak﹣3）ak+1﹣ak+4=0，即（ ﹣3）ak+1﹣ +4=0，

所以 ak+1= ，即ak+1= = ，

所以當n=k+1時，結論an= 成立．

綜上，對任意的n∈N*，an= 成立

【解析】（1）由數列{an}的遞推公式依次求出a2 ， a3 ， a4；（2）根據a2 ， a3 ， a4值的結構特點猜想{an}的通項公式，再用數學歸納法①驗證n=1成立，②假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立
【考點精析】關于本題考查的數列的定義和表示和數學歸納法的定義，需要了解數列中的每個數都叫這個數列的項．記作an，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為n的項叫第n項（也叫通項）記作an；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．