Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點M(

3π

4

，0)對稱，且在區間[0，

π

2

]上是單調函數，則ω的值為（　　）

• A．

  1

  3

  或2
• B．

  1

  3

  或

  3

  2

• C．

  2

  3

  或

  3

  2

• D．

  2

  3

  或2

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數可得φ的值，利用圖象關于點M對稱，得f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），可得ω的可能取值，結合單調函數可確定ω的值．

解答：解：由f（x）是偶函數，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
對任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依題設0＜φ＜π，所以解得φ=

π

2

，
由f（x）的圖象關于點M對稱，得f（

3π

4

-x）=-f（

3π

4

+x），
取x=0，得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，∴cos

3ωπ

4

=0，
又ω＞0，得

3ωπ

4

=

π

2

+kπ，k=1，2，3，
∴ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，
當k=0時，ω=

2

3

，f（x）=sin（x+

π

2

）在[0，

π

2

]上是減函數，滿足題意；
當k=1時，ω=2，f（x）=sin（2x+

π

2

）在[0，

π

2

]上是減函數；
當k=2時，ω=

10

3

，f（x）=（

10

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上不是單調函數；
所以，綜合得ω=

2

3

或2．
故選D．

點評：本題主要考查三角函數的圖象、單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力，屬于中檔題．