已知函數(shù)f(t)滿足對任意實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝－2，
(1)求f(1)的值．
(2)證明：對于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)＞t．
(3)試求滿足f(t)＝t的整數(shù)t的個數(shù)，并說明理由．
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解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1，令x＝y(tǒng)＝－1，因為f(－2)＝－2，所以f(－1)＝－2．令x＝1，y＝－1，有f(0)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝1． (2)令x＝1，有f(y＋1)＝f(y)＋y＋2，即f(y＋1)－f(y)＝y(tǒng)＋2．所以當(dāng)y∈N時，有f(y＋1)－f(y)＞0．所以f(y＋1)＞f(y)．由f(1)＝1可知對于一切正整數(shù)y，有f(y)＞0．所以當(dāng)y∈N時，f(y＋1)＝f(y)＋y＋2＝f(y)＋1＋y＋1＞y＋1，于是對于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)＞t． (3)由f(y＋1)－f(y)＝y(tǒng)＋2及(1)可知f(－3)＝－1，f(－4)＝1．下面證明當(dāng)整數(shù)t≤－4時，f(t)＞t． 因為t≤－4，所以－(t＋2)≥2＞0．由f(y＋1)－f(y)＝y(tǒng)＋2，得f(t)－f(t＋1)＝－(t＋2)＞0．即有f(－5)－f(－4)＞0．同理f(－6)－f(－5)＞0…，f(t＋1)－f(t＋2)＞0，f(t)－f(t＋1)＞0．將諸不等式相加，得f(t)＞f(－4)＝1＞－4，因為t≤－4，所以f(t)＞t．綜上所述，滿足條件的整數(shù)只有t＝1，－2． |
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學(xué)（學(xué)生用書） 題型：044
已知函數(shù)f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx，且f(0)＝2，f(
)＝
，
(1)求使f(x)＞2的x的集合；
(2)若α－β≠kπ(k∈Z)，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學(xué)（學(xué)生用書） 題型：044
已知函數(shù)f(x)＝x3＋(m－4)x2－3mx＋(n－6)(x∈R)的圖象關(guān)于原點對稱，m，n為實常數(shù)．
(1)求m，n的值；
(2)試用單調(diào)性的定義證明f(x)在區(qū)間[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)
(3)當(dāng)x∈[－2，2]時，不等式f(x)≥(n－logma)logma恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省開平市長師中學(xué)2007年高考數(shù)學(xué)文科第一輪復(fù)習(xí)階段性考試卷 題型：044
解答題
已知函數(shù)
在同一周期內(nèi)有最高點
和最低點
，求此函數(shù)的解析式．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：龍門中學(xué)、新豐一中、連平中學(xué)三校聯(lián)考試題、高三數(shù)學(xué)(理) 題型：044
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007龍門中學(xué)、新豐一中、連平中學(xué)三校聯(lián)考試題、高三數(shù)學(xué)(文) 題型：044
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恒過點
．
的值；
的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．
恒過點
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的值；
的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．