Question

如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，CA，CB，CC₁兩兩垂直且長度相等，B₁C₁=BC，D為BB₁中點，E為AB上一點，且BE=BA，
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設二面角B₁-AB-C的大小為θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求點C到平面ABB₁的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）過D作DF⊥BC于點F（或取BC的四等分點），所以FD∥C₁C，
所以C₁C∥平面ACC₁A₁．
又因為E為AB上一點，且BE=BA，
所以EF∥AC，
所以EF平面ACC₁A₁．
所以平面EFD∥平面ACC₁A₁，
又因為ED?平面EFD，
所以ED∥平面ACC₁A₁（4分）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）過F作FG⊥BA于G，連GD，
由題意可得：FD⊥平面ABC，
所以AB⊥平面FDG，
所以GD⊥AB，
所以可得∠FGD=θ，
因為E為AB上一點，且BE=BA，
所以點F為線段BC的四等分點，
所以．
因為D為BB₁中點，所以DF=C₁C=．
所以在Rt△DFG中，解得tgθ==2（4分）
（Ⅲ）由題意可得：V_A--CBB1=．
因為AC=2，所以AB=2，B₁B=，AB₁=3，
所以由正弦定理與余弦定理可得：S_△AB1B=3．
由V_C-ABB1=V_A--CBB1可得：C到平面ABB₁的距離為．（4分）
分析：（Ⅰ）過D作DF⊥BC于點F（或取BC的四等分點）先證明平面EFD∥平面ACC₁A₁，從而得ED∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）過F作FG⊥BA于G，連GD證明∠FGD=θ，在Rt△DFG中解得tgθ=2．
（Ⅲ）由V_C-ABB1=V_A-CBB1 解得C到平面ABB₁的距離為．
點評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，以及考查利用等體積法求點到平面的距離．