Question

如圖，在四棱錐E—ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．

(Ⅰ)求證：平面ADE上平面ABE；

(Ⅱ)求點(diǎn)C到平面ADE的距離．

Answer 1

解法一：取BE的中點(diǎn)O，連OC．

∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．

以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖，

則由已知條件有：

C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)

設(shè)平面ADE的法向量為n=(a，b，c)，

則由n·=(a，b，c)·(0，2，2)=2b+2c=0．

及n·=(a，b，c)·(-1，，1)=-a+b+c=0．

可取n=(0，1，)

又AB上平面BCE．∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE

∴平面ABE的法向量可取為m=(1，0，0)．

∵n·m=(0，1，)·(1，0，0)=0，

∴n⊥m  ∴平面ADE⊥平面ABE．

(Ⅱ)點(diǎn)C到平面ADE的距離為

解法二：取BE的中點(diǎn)O，AE的中點(diǎn)9，連OC、OF、DF，

則OFBA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD

∴CDBA，OFCD   ∴OC∥FD

∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．

∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．

從而平面ADE上平面ABE．

(Ⅱ)∵CDBA，延長(zhǎng)AD，BC交于T  則C為BT的中點(diǎn)．

點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)B到平面ADE的距離的·

過(guò)B作BH⊥AE，垂足為H．

∵平面ADE⊥平面ABE．∴BH⊥平面BDE．

由已知有AB⊥BE．BE=2，AB=2，∴BH=，

從而點(diǎn)C到平面ADE的距離為

或OC∥FD，點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)O到平面ADE的距離為．或取AB的中點(diǎn)M．易證CM∥DA，點(diǎn)C到平面ADE的距離等于點(diǎn)M到平面ADE的距離為．