Question

（本題滿(mǎn)分12分）

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線滿(mǎn)足條件：①過(guò)的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿(mǎn)足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知（3，）、（4，4）在拋物線上，易求      ………………2分

       設(shè)：，把點(diǎn)（2，0）（，）代入得：

     解得

∴方程為  ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：

假設(shè)存在這樣的直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，

       由消去，得_{…………………………7分}

       ∴     ①

            ②      ………………………9分

       由，即，得

將①②代入（*）式，得， 解得  …………………11分

所以假設(shè)成立，即存在直線滿(mǎn)足條件，且的方程為：或…………………………………………………………………………………12分

法二：容易驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；……………………………6分

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為

由消掉，得 ，  …………8分

于是 ，    ①

即   ② ………………………………10分

由，即，得

將①、②代入（*）式，得  ，解得；……11分

所以存在直線滿(mǎn)足條件，且的方程為：或．………12分