Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，F為x軸正半軸上的一個動點．以F為焦點、O為頂點作拋物線C．設P為第一象限內拋物線C上的一點，Q為x軸負半軸上一點，使得PQ為拋物線C的切線，且.圓C1、C2均與直線OP切于點P，且均與x軸相切．求點F的坐標，使圓C1與C2的面積之和取到最小值，

Answer 1

【答案】

【解析】

設拋物線C：，點，并設的圓心分別為.

設，將其與拋物線C的方程聯立，消去x得

. ①

因為PQ與拋物線C切于點P，所以，方程①的判別式為

.

進而，點.

故

.

由

. ②

注意到，OP與圓切于點P.

故.

設圓與x軸分別切于M、N，如圖所示.

則 分別為的平分線.故.

由射影定理知.

結合式②有

. ③

由三點共線得

，

. ④

令，于是，圓的面積之和.

根據題意，僅需考慮T取最小值的情形.

根據③、④知

.

作代換.

由.

當且僅當時，上式等號成立.

此時，.

結合式②得

.

故點.